Гумбаталиев Ровшан Зульфигар оглы, д.ф.-м.н., профессор кафедры «Прикладная математика». Азербайджанский Университет Кооперации гл.н.с. отдела «Теории функции» Института Математики и Механики НАН Азерб.


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
1





УДК
517.946

О разрешимости одного класса краевых задаˆ в весовых пространствах для
операторно
-
дифференциальных уравнений второго порядка

Гумбаталиев Ровшан Зульфигар оглы
,
д.ф.
-
м.н.,

профессор кафедры Прикладная математика»

Азербайджанский Университет

Кооперации

гл.н.с. отдела Теории функции» Института Математики и Механики НАН Азерб.

Исаев Абдулла Гусейн оглы,

д.ф.
-
м.н., профессор кафедра Прикладная математика»


Азербайджанский Университет Кооперации

В данной работе мы найдем условия, обеспечивающие

регулярную разрешимость краевых задач, причем
эти условия будут выражены, только свойствами операторных коэффициентами операторно
-
дифференциальных уравнения.

1.Введение
.

Многие задаˆи механики, математиˆеской физики, теории дифференц
-
иальных

уравнений в ˆастных производных
приводят к исследованию разрешимости краевых задаˆ для операторно
-
дифференциальных уравнений в разлиˆных пр
о
странствах 1
-
7].

Отметим, ˆто некоторые задаˆи теории упругости в полосе 8,9,10], задаˆи теории колебаний механиˆ
еского систем 11],
колебаний упругого цилиндра 12] приводят к исследованию разрешимости некоторых краевых задаˆ для операторно
-
дифференциальных уравнению и построению спектральную теорию квадратиˆных пуˆков и пуˆков высокого порядка.
Например, напряженно
-
деформированное состояние плиты приводят к решению задаˆ теории упругости в полосе.

Нахождения тоˆных знаˆений норм или их оценки сверху операторов промежутоˆных производных имеют самосто
я
тельный математиˆеский интерес и имеют многоˆисленные применения в
разлиˆных областях математиˆеского анализа
12,13], например, в теории приближений 14].

2.Пастановка задаˆа.

Пусть

сепарабельное гильбертово пространство,
-

положительно
-

определенный самосопряженный оператор с

областью определения
. Обознаˆим ˆерез
-

шкалу гильбертовых пространство, порождения оператором
,
т.е.
. При

сˆитаем, ˆто
.

Рассмотрим в сеперабельном гильбертовом пространстве
краевую задаˆу

,
,


(1)

,


(2)

где

и
-

вектор
-
функции, определенные поˆти всюду в
, со знаˆениями из
, производные понимаются
в смысле теории распределений 12],
,
-

линейные операторы в
. Предположим, ˆто операторы

ограниˆенные операторы в
.

Обознаˆим ˆерез

гильбертово пространство вектор
-
функций
, определенных в

по
ˆти
всюду, со знаˆениями в
, измеримых и квадратиˆно интегрируемых в

и определим норму

.

Далее, определим весовые функциональные пространства. Пусть
. Обознаˆим ˆерез

и определим в этом гильбертовом пространстве норму следующим образом:
. Гильбертово пространстве

определяется следующим образом:

.

Норма в этом пространстве определи
м таким образом

2





.

Определение 1
. Если

существует вектор
-
функция
, которая удовлетворяет
уравнению 1 поˆти всюду в

и краевому условию 2 в смысле сходимости
, то вектор
-
функцию

будем называть регулярным решением задаˆи 1, 2.

Определение 2
. Если при любом

существует регулярное решение задаˆи 1, 2
, для кот
о
рого выполняется оценка
, то задаˆу 1, 2 будем называть регулярно ра
з
решимой.

Отметим, ˆто краевые задаˆи для операторно
-
дифференциальных уравнений вида:
,
, где

-

комплексные ˆисла,

-

эллиптиˆеский оператор с дискретным спектром, изуˆены в работе
Ю.А.Дубинского 15], в которой при некоторых алгебраиˆеских условиях на ˆисла

устанавливается разрешимость
этих задаˆ в некоторых весовых пространствах.

Далее, в работах Ю.А.

Дубинского 16] рассмотрен более общий слуˆай, когда
-
некоторые линейные операторы.
сследуются вопросы разреши
-
мости в весовых простран
ствах, но здесь условия разрешимости выражены в терминах
ограниˆений роста резольвенты, которые трудно проверяемы в конкретных задаˆах. В работе С.С.

Мирзоева 17] ра
с
смотрена наˆально
-
краевая задаˆа типа Дирихле. А в данной работе мы найдем условия, обесп
еˆивающие регулярную
разрешимость задаˆи 1, 2, приˆем эти условия будут выражены, только свойствами операторов. Отметим, ˆто показ
а
тели весовых пространств, где задаˆа 1, 2 регулярно разрешима, тесно связаны с нижней границей

спектра оп
е
раторов.

3
.

Некоторые вспомогательные факты

Для исследования регулярной разрешимости задаˆи 1, 2 введем следующие пространства

.

Введем следующие обознаˆения

,

и
.

После замены

мы сведем задаˆу 1, 2 к следующей краевой задаˆе

,


(3)

,


(4)

где
,
.

Аналогиˆно

дается регулярная разрешимость краевой задаˆи 3, 4 и оˆевидно, ˆто регулярная разрешимость задаˆи
3, 4 эквивалентна регулярной разрешимости задаˆи 1, 2. Поэтому введем следующие обознаˆения
,

и

при
, где
.

меет место

Теорема 1
.
Пусть

и

удовлетворяет условию
, где
-
нижняя граница спе
к
тра оператора
. Тогда оператор

изоморфно отображает пространство

на
.

Доказательство
. Достатоˆно доказать, ˆто при выполнении условия теоремы оператор

изоморфно отображает
пространство

на

. Сперва рассмотрим краевую задаˆу

,
,


(5)

3





.


(6)

Покажем, ˆто однородное уравнение

имеет только нулевое решение из пространства
. Общее
решение уравнения 5 из пространства

имеет вид
, где

-

единиˆный оператор в
,
, а

-

сильно непрерывная полугруппа ограниˆенных операторов, поскольку при

оператор
. Так как из условия

следует, ˆто
,
то из вида общее решения уравнения 5 полуˆаем, ˆто

, т.е. однородное уравнение

имеет только нулевое решение из пространство
. Оˆ
е
видно, ˆто вектор
-
функция

,
,

удовлетворяет уравнению 5 поˆти всюду в

и принадлежит пространству
. Чтобы доказать

продолжим функцию

на всю отрицательную полуось как нулевая функция, обознаˆим ее преобраз
о
вание урье
. Тогда достатоˆно доказать, ˆто

и
.
десь

и из вида

видно, ˆто
. Таким образом


Таким образом,
. Далее,


Отсюда имеем

Таким образом,
. Обознаˆим ˆерез

сужение
вектор
-
функции

на
. Оˆевидно, ˆто
.Тогда из теоремы о следах вытекает, ˆто
.

Теперь будем искать регулярное решение задаˆи 5, 6 в виде
, где
-
пока неи
з
вестный вектор. з условия 6 следует, ˆто

или
. Тогда

будет искомое регулярное решение задаˆи 5, 6. Покажем, ˆто

ограниˆен. Действ
и
тельно, для любого

имеем


з теоремы о промежутоˆных производных следует, ˆто

.

4





Поэтому
. Таким образом, оператор

взаимооднознаˆен, его
образ совпадает с

и ограниˆен. Тогда по теореме Банаха об обратном оператор следует, ˆто

существует и ограниˆ
ен. Следовательно, оператор

является изоморфизм
-
ом. Тогда
оператор
. Теорема доказана.

Теперь мы оценим нормы операторов промежутоˆных производных.

меет место

Теорема 2
.
Пусть выполняются условия теоремы 1. Тогда при любом

имеют место оценки

,


(7)

,


(8)

.


(9)

Оˆевидно, ˆто неравенства 7
-

9 эквивалентны следующим неравен
ствам при любом

,


(10)

,


(11)

.


(12
)

»емма
.
Пусть выполняются условия 1, 2 и условия
. Тогда оператор

является ограниˆенным оператором.

Доказательство
. По теореме 1 оператор

ограниˆен. Поэтому достатоˆно показать, ˆто

ограниˆен. Действительно, при любом

.

Применяя сюда результаты теоремы 2, полуˆаем, ˆто

.

»емма доказано.

Справедлива следующая.

Теорема 3
.
Пусть выполняются условия 1, 2 и имеет место неравенство


. Тогда задаˆа 1, 2 регулярна разрешимо. десь ˆисла
,
,

определяется из теоремы 2 равенствами 2.12, 2.13 и 2.14, соответственно
.

Следствие.
Пусть
, операторы

ограниˆены

и имеет место нераве
н
ство
. Тогда задаˆа 1, 2 регулярно разрешима в
.

5





»итература:

1.

Юрˆук

Н.. О граниˆных задаˆах для уравнений, содержащих в главной ˆасти операторы в вида
. Дифференц. уравнения, 1974, т. 10, 4, с.759
-
762.

2.

Мирзоев С.С., Р..Гумбаталиев О полноте системы элементарных решений одного класса операторно
-
ди
фференциального уравнения на конеˆном отрезке. Доклады РАН, 2010, т. 431,  4, с.
454
-
456
.

3.

Р..Гумбаталиев О разрешимости одного класса краевых задаˆ для операторно
-
дифференциальных уравнений
высокого порядка. Дифференц. уравнения, 2009, т. 45,  10, с. 14
20
-
1428.

4.

Крейн С.Г. »инейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве
.
Москва
"
Наука
",

19
67
,
464с.

5. М.Г.Гасымов
, С.С. Мирзоев О разрешимости краевых задаˆ для оператор
-
дифференциальных уравнений
эллиптиˆеского типа второго порядка.
Дифференц.
уравнения
, 1992,
т
.28,  4,
с
.651
-
661.

6
.

С.
Г
.
Крейн, Г..»аптев Корректность граниˆных задаˆ для дифферец
-
иальных уравнений в банаховом простра
н
стве
.
Дифференц. уравнения, 1966, т.2, 7, с.919
-
926
.

7
.
Р..Гумбаталиев

Нормальная разрешимость краевых задаˆ
для одного класса операторно
-
дифференциального
уравнения ˆетвертого порядка в весовом пространстве
.
Дифференц. уравнения, 2010, т.46, 5, с.678
-
686
.

8
. Ю.А.Устинов,
Ю
.. Юдовиˆ О полноте систем элементарных решений бигармониˆеского уравнения
в

пол
у
полос
е
.

ПММ
, 1973,
т
.37,  4,
с
.706
-
714.

9
.
П.. Папковиˆ

Дв
а

вопроса

теории изгиба тонких упругих пли
т
.
П
MM, 1941,
т
.5, выпуск 3,
с
.359
-
374.

1
0
.
П.. Папковиˆ

Об одной из форм решения плоской задаˆи теории упругости для прямоугольной полосе. ДАН
СССР, 1940,
т
.3
7,  4.

11. А.Г.Костюˆенко, М.Б.Оразов адаˆа о колебании упругого полуцилиндра и связанные с ней квадратиˆные пуˆки.
Труды семинара им..Г.Петровского, т.6, изд
-
во МГУ,1981, с.97
-
146.

1
2
.
Ж.
-
».
»
ионс
,
Э
.
Мадженес

Неоднородные краевые задаˆи и их приложени
я. М., «Мир», 1971, 371 с.

13
. Горбаˆук
В
.

., Горбаˆук М.». Краевые задаˆи для дифференциально
-
операторных уравнений. Киев, «Наукова
думка», 1984, 284 с.

14
. Стеˆкин
С
.B. Наилуˆших приближений линейных операторов. Матем. заметки, 1967, т.1,  2,
сс
.137
-
138.

15. Дубинский Ю.А. Смешанная задаˆа для некоторых классов уравнений. Труды москв. мат. общ
-
ва. 1969, т.20, с.203
-
238.

16. Дубинский Ю.А. О некоторых дифференциально
-
операторных уравнений произвольного порядка. Матем.сборник,
1973, т. 90132, 1
, с.3
-
22.

17. Мирзоев С.С. О разрешимости краевых задаˆ для операторно
-
дифференциальных уравнений в весовых простра
н
ствах. В сб. «»инейные операторы и их приложения», Баку изд
-
во АГУ, 1989, с.46
-
49.


Приложенные файлы

  • pdf 26146706
    Размер файла: 436 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий