Циркуляция векторного поля. Рассмотрим в векторном поле ?? ?? какую-либо линию, и возьмем на нем произвольную точку. Ротор (вихрь) векторного поля.


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Лекция 10. Циркуляция
векторного поля


Циркуляция


Ротор


Формула Стокса



Циркуляция векторного поля

Рассмотрим в векторном поле


ܯ

какую
-
либо
линию, и возьмем на нем произвольную точку.

Опр
.

Элементарная

циркуляция

поля

на

данном

участке


ݏ

есть

произведение

длины

участка


ݏ

на

значение

скалярного

произведения

вектора

поля

и

орта

касательной

во

взятой

точке
:




ܯ
,


(
ܯ
)

ݏ
.

Рассмотрим линию (
L
), ограниченную двумя
точками


начальной точкой А и конечной точкой В.

Разобьем линию (
L
) на
n

участков точками
ܵ
0
,
ܵ
1
,

,
ܵ



Циркуляция векторного поля

Опр.
Циркуляцией поля


ܯ

вдоль линии (
L
)
называется предел суммы
э
лементарных
циркуляций на всех частичных участках
разбиения (
L
), когда число частичных
участков неограниченно растет, а длина
наибольшего участка стремится

к
н
улю: т.е.

Γ

=



ܯ
,


(
ܯ
)
�ܮ



Циркуляция векторного поля

Пусть


=
ܲ


+
ܳ


+
ܴ
݇


Рассмотрим формулу перехода от криволинейного
интеграла 1
-
го рода к интегралу второго рода



ܲ
cos
ߙ
+
ܳ
cos
ߚ
+
ܴ
cos
ߛ

�݈
=


ܲ�ݔ

+
Q
�ݕ
+
ܴ�ݖ
,

где
cos
ߙ
,
cos
ߚ
,
cos
ߛ



направляющие косинусы
касательного вектора


=
ݔ′
ݐ


+
ݕ′
ݐ


+
ݖ′
(
ݐ
)
݇

к
кривой
L.
Тогда циркуляция векторного поля есть

Γ

=

ܣ

,


�ܮ

=

ܣ

,

ݎ


,

здесь

ݎ

=


ݔ


+

ݕ


+

ݖ
݇


Работа векторного поля

Если


ܯ
=





силовое векторное поле и
ܮ



ориентированная кусочно
-
гладкая
кривая, то циркуляция есть
работа силового
поля

вдоль кривой в заданном направлении
,

то есть

ܣ


=



,


�ܮ


Ротор

Рассмотрим

точку

M

и

L

бесконечно
-
малый

ориентированный

контур

вблизи

точки

М
.

Обозначим

σ



площадку,

натянутую

на

контур

L
,





нормаль

к

поверхности

σ,

такая

что

обход

по

контуру

L

оставляет

площадку

слева
.

Опр
.

Ротор

(вихрь)

векторного

поля


ܣ


есть

вектор,

определяемый


с
оотношением
:

(
rot
ܣ

,

)
=
lim


0
Г

ݏ


Ротор

В декартовой системе координат ротор
векторного поля
ܣ

=
ܲ


+
ܳ


+
ܴ
݇

имеет вид:


rot
ܣ

=
�ܴ
�ݕ

�ܳ
�ݖ


+
�ܲ
�ݖ

�ܴ
�ݔ


+
�ܳ
�ݔ

�ܲ
�ݕ
݇

или

rot
ܣ

=




݇


ݔ


ݕ


ݖ
ܲ
ܳ
ܴ

Ротор: свойства

1.
rot
с

=
0
;

c



постоянное поле

2.
rot
c
ܣ

=
c
rot
ܣ


;

3.
rot
ܣ

+
ܤ
=
rot
ܣ

+
rot
ܤ
;

4.
Пусть
ݑ
(
ܯ
)



скалярное поле, тогда

rot
ݑ
ܣ

=
u
rot
ܣ

+
ߘ
ݑ
×
ܣ

;

5.
div
ܣ

×
ܤ
=
ܤ
,
rot
ܣ


ܣ

,
rot
ܤ
;

6.
rot
ߘ
u
=
0
;





div
rot
A
=
0
;


Формула Стокса


Теорема Стокса. Циркуляция поля по
замкнутому контуру равна потоку ротора
этого поля через поверхность, ограниченную
этим контуром.


ܣ

,


�ܮ
=


rot
ܣ

,

�ܵ




Приложенные файлы

  • pdf 26319132
    Размер файла: 528 kB Загрузок: 1

Добавить комментарий