Тогда ряд Фурье для функции f сходится в точке x0 к f0 . Доказательство. Теорема 10.6.2. (Признак Липшица сходимости ряда Фурье в точке x0?R) Пусть f? L1(-pp) , f – 2p-периодическое продолжение f. Пусть точка x0?R.


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
§6
. Поточечная сходимость и значение суммы триг. ряда Фурье


Те
орема 1
0
.
6
.
1
.

(
Признак Дини

сходимости ряда Фурье

в точке
x
0


)

Пусть
f

,


2

-
периодич
еское

продолжение
f
. Пусть точка
x
0



такова, что су
ществует

, причём интеграл

сходится при некотором




0.

Тогда ряд Фурье
для
функции


f


сходится в точке
x
0

к
.

Доказательство.


Теорема 10.6.
2
.

Признак Липшица

сходимост
и ряда Фурье

в точке
x
0


)

Пусть
f

,


2

-
периодич
еское

продолжение
f
. Пусть точка
x
0



такова, что



,
A
,


> 0 такие, что

t

(



;


)

выполнено
:
.

Тогда ряд Фурье
для
функц
ии


f


сходится в точке
x
0

к
.

Доказательство.


Следствие
.

Пусть
f

,


2

-
периодич
еское

продолжение
f
. Пусть
точка
x
0



такова, что


дифференцируема

в т.

x
0
.


Тогда ряд Фурье функции


f


сходится в точке
x
0

к
.

Доказательство.


Замечание
.

Для сходимости ряда Фурье к

достаточно существования
пределов
производных
:


или
одностороннего выполнения условия Липшица
.


Пример.

Пусть

. Тогда
f

.

В точке
x
0

=

0 функция
=

f


не дифференцируема
, но в
ыполнено условие Липшица:

,

ряд Фурье сходится к
.

В точке
x
0

=



, ряд Фурье сходится к
,
так как существуют
пределы

.

График суммы ряда Фурье для

f

:



§7
. Виды разложений
функции

в тригонометрический ряд

Фурье


Здесь

f

.


1)
Разложение на интервале 
a
;
b
 длины 2



,


2)
Разложение на инте
рвале 
a
;
b
 произвольной длины

(
l

= (
b



a
)/2)

САМИМ:

функции

являются 2
l



периодическими
.

,


3)
Разложение только по синусам или только по косин
усам
на интервале 0
;

)


3.1.
Пусть



четное продолжение

. Тогда
,
,

,
.

3.2. Пусть



нечетное продолжение

. Тогда
,
,

,
.


4)

Разло
жение только по синусам или только по косинусам на интервале 0
;

l
)

ЗАПИСАТЬ ФОРМУЛЫ САМИМ.


5)
Показательная форма ряда Фурье

на интервале
(
a
;
b
 длины 2


Подстановкой

в триг.ряд Фурье
и формулы для коэффициентов
A
n
,
B
n

получае
м:

Доказательство.

,

.
При этом

.


6)
Показательная форма ряда Фурье

на интервале
(
a
;
b
)
произв.
длины

ЗАПИСАТЬ ФОРМУЛЫ САМИМ.


Приложенные файлы

  • pdf 26512903
    Размер файла: 215 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий